İspat çeşitleri matematikte kullandığımız formüllerin, önermelerin, teoremlerin ispatını yapmak için kolayımıza gelen ispat yöntemini kullanırız. Matematikteki ispat diğer alanlardaki ispatlardan farklıdır. Örneğin fizikte bir olay her olduğunda aynı sonuç ortaya çıkıyorsa bu olayın sonucu deney yoluyla ispatlanmış oluyor. Ancak matematikte böyle bir ispat yöntemi yoktur.Matematikte yapılan bir ispata kimse itiraz edememeli, herkes tarafından kabul edilmelidir. ispatlanırken sonsuza gittiğini göstermek için … ifadesi bile kullanılmaz. Eğer kullanılıyorsa onunda bir ispatı var demektir. Bu yazıda size matematikte bulunan ispat yöntemlerini derledim.
İspat yöntemlerinde Tümden gelim yöntemi ve dolaylı ispat bir ispat yöntemi değildir.
İspat yöntemleri aşağıda sıralandığı gibidir:
- Tümevarım Yöntemi
- Doğrudan İspat
- Olmayana Ergi Yöntemi (Karşıt Tersi)
- Çelişki Yöntemi
- Deneme Yöntemi İle İspat
- Aksine Örnek Verme Yöntemi
Şimdi bu ispat yöntemlerini açıklayalım.
1) Tümevarım Yöntemi İle İspat
∀ n ∈ N+ (Her n elemanıdır pozitif doğal sayıların.) herhangi bir P(n) önermesi verildiğinde örneğin;
Bu önermede P(1) doğru ve bir n pozitif tam sayısı için P(n) doğru ise P(n+1) ‘de doğrudur. Bu ispat yöntemine matematiksel tümevarım ilkesi denir.
Bu ispat yöntemi;
İspatlamak için P(1) ve P(2) önermelerine bakarız. Doğru ise P(n) için kabul ederiz. Ve P(n+1) için sağlıyor mu bakarız. Eğer sağlıyorsa önermeyi doğru kabul ederiz. Daha iyi anlamak için bir örnek yapalım;
Örnek 1.1.
İspat.
Tümevarım yöntemi ile ispatlayacağımız önermenin hangi sayı kümesinde tanımlı olduğunun bilinmesi gerekir.
2) Doğrudan İspat Yöntemi
p => q gibi bir önermede örneğin ” n tekse n2 de tektir. ” gibi bir önermede P ( yani n tektir ) doğru kabul edilir ve q ( yani n2 de tektir ) ispat edilmeye çalışılır.
Bu örneği açıklamak gerekirse;
Örnek 2.1. ” Bir tek doğal sayının karesi de tektir. “
İspat.
P : ” n tektir. ” ve q : ” n2 tektir. ” diyelim
n tek => (ise) Ǝ (bazı) k tam sayısı için n = 2.k+1 dir.
=> n2 = ( 2.k+1 )2
=> n2 = 4. k2 + 4.k + 1 (2 parantezine alırız.)
=> n2 = 2.m + 1
=> n2 tektir.
Bu ispat yönteminin aşamaları aşağıdaki gibidir.
1.Adım: 1. önerme doğru kabul edilir. ( P doğru kabul edilir. )
2.Adım: q ‘nun doğru olduğu gösterilmeye çalışılır
3.Adım: P => q ‘nun doğru olduğunu söyler.
3) Olamayana Ergi Yöntemi
Olmayana ergi yönteminde önerme karşıt tersi alınarak ispatlanır. p => q önermesini ispatlamamız için q’ => p’ önermesini ispatlamamız yeterlidir.
Bir örnek vermek gerekirse;
Örnek 3.1. ” a ve b iki doğal sayı olsun. a.b bir çift doğal sayı ise a ile b ‘den en az birisi çifttir. ” önermesini ispatlayınız.
İspat.
P : ” a.b çift sayıdır. ” ve q : ” a ile b ‘den en az birisi çifttir. “
P’ : ” a.b tek sayıdır. ” ve q’ : ” a ve b tek sayılardır. “
( p => q önermesinin doğruluğunu olmayana ergi yöntemi ile ispatlamamız için karşıt tersi olan q’ => p’ önermesini ispatlamamız yeterlidir.q’ => p’
a,b tek sayı => (ise) a.b tek sayıdır.
a ve b tek => a = 2.n+1, b = 2m+1 ‘dir. ( m,n tamsayı )
=> a.b = ( 2.n+1 ) . ( 2.m+1 )
=> a.b = 4.m.n + 2.n +2.m + 1
=> a.b = 2 ( 2.m.n + n + m ) + 1 [ ( 2.m.n + n + m ) ifadesine t dersek. ] (t bir tamsayı)
=> a.b = 2.t+1 olur.
=> a.b tektir.
Doğrudan ispat yönteminde ” n tek ise n2 tektir. ” gibi önermeler ispatlanırken olmayana ergi yönteminde ” n2 tekse n tektir. ” gibi önermeler ispatlanmaktadır. Buna dikkat etmek gerekir.
4) ispat yöntemleri – Aksine Örnek Vererek İspat
Bir ifadenin yanlışlığını ispat etmek için kullanılır. Bir ifadenin doğruluğu örnek verilerek ispatlanamaz. Bir değer için doğru olan ifade başka değer için yanlış olabilir. Anca bir değer için yanlış olan ifade tüm değerler için doğru olamaz.
Bir örnek vermek gerekirse;
Örnek 4.1. ” Tüm asal sayılar tektir. ” doğruluğunu veya yanlışlığını ispatlayınız.
İspat.
=> 2 asal sayıdır ve tek değildir. Dolayısı ile bu ifade yanlıştır.
Aksine örnek vererek ispat yönteminde ifadeyi yanlış yapacak bir tane değer bulmamız yeterli olacaktır.
5) Deneme Yöntemi İle İspat
p veya p => q gibi bir önerme sonlu bir küme için tanımlanmışsa sonlu kümedeki değerleri tek tek deneyerek ispatlayabiliriz.
Örneğin x ∈ { 0, 1, 2 } için
dir. Bu kümenin tüm elemanları tek tek denenerek iddia ispatlanır.
Bu ispat yöntemi tam sayılar kümesi gibi sonsuz kümelerde geçerli değildir.
6) ispat yöntemleri – Çelişki Yöntemi İle İspat
Bu ispat yönteminde bir p önermesinin doğruluğunu ispatlamak için P önermesinin değilinin ( P’ ) yanlış olduğunu ispatlarız. Veya p => q şartlı önermesinin doğru olduğunu ispatlamamız için ( p => q )’ önermesinin yanlış olduğunu ispatlamamız yeterlidir.
( p => q )’ ≡ ( p’ V q )’ ≡ p / q’
( => ) ise ifadesinin olumsuzu alınırken ilk önce ise, veya ‘ya çevrilir sonra tersi alınır.
Bu nedenle p / q’ önermesinin yanlış olduğunu ispatlamak yeterlidir.
Örnek 5.1. ” n tek sayı ise n2 de tektir.” Doğruluğunu çelişki yöntemiyle ispatlayınız.
İspat.
Bu önermeyi ispatlamamız için ” n tek sayı ve n2
çift sayıdır. ” ifadesinin yanlışlığını ispatlamamız yeterlidir.
p / q’ önermesi yanlış olmalıydı.
P: Doğru q: Yanlış
1 / 0 = 0 olduğundan önermenin olumsuzu yanlıştır. Bu sebeple önermemiz doğrudur.
Matematikte kullandığımız ispat yöntemleri burada bitti.
Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa’ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.